František Klimkovič (maď. Klimkovics Ferenc; * 31. august 1826, Košice – † 8. apríl 1890, Budapešť) bol maliar, reštaurátor a pedagóg.
Prvý maliar z rodiny bol jeho dedko Florián Klimkovič. František Klimkovič sa narodil v roku 1826 v Košiciach. Bol najstarším, a spolu s Vojtechom najvýznamnejším z bratov Klimkovičovcov. Jeho otec Ignác Klimkovič (1800 – 1852) bol slovenský maliar a sochár. Františkovi mladší bratia Vojtech (1833 – 1885) a Florián (1831 – 1907) boli aj umelcami a zaslúžili sa o založenie Hornouhorského múzejného spolku. Najprv Vojtech, neskôr Florián boli riaditeľmi múzea v Košiciach (dnes Východoslovenské múzeum).
xFrantišek Klimkovič má na Slovensku 0 ulíc a námestí.